Oversampling TDC의 스펙트럼 밀도 분석

본 문서는 **“Phase Locked Loops(From Principles to Advanced Techniques for Integrated Circuits).pdf”**의 198페이지 내용(“TDC Resolution and Phase Noise”)을 기반으로 Oversampling TDC의 위상 잡음(Phase Noise) 스펙트럼 밀도 수식에 대해 분석한 내용입니다.

1. 기본 개념: Nyquist 조건에서의 TDC 위상 잡음

TDC(Time-to-Digital Converter)가 위상차를 디지털 코드로 변환할 때 발생하는 양자화 노이즈(Quantization Noise)는 일반적으로 ${\Delta }^2/12$의 분산을 가지는 백색 잡음(White Noise)으로 모델링됩니다.

기본 (Nyquist) 조건에서의 스펙트럼 밀도 수식은 다음과 같습니다. $S_{\varphi }(f){|}_{Nyquist}=\frac{{\Delta }^2}{12}\frac{N^2}{f_{REF}}={\left(2\pi T_{TDC}\right)}^2\frac{1}{12}\frac{f_{VCO}^2}{f_{REF}}$

• $\Delta$: 위상(Phase) 관점에서의 TDC 해상도(Resolution)입니다. 시간 해상도 $T_{TDC}$를 위상으로 변환하면 $\Delta =2\pi \frac{T_{TDC}}{T_{VCO}}=2\pi T_{TDC}{f}_{VCO}$ 가 됩니다.
• $T_{TDC}$: TDC의 물리적 시간 해상도 (예: Inverter delay 등).
• $N$: 피드백 분주비 ($f_{VCO}=N\cdot f_{REF}$).
• 결과적 의미: TDC의 시간 해상도($T_{TDC}$)가 작을수록(세밀할수록), 그리고 기준 클럭 주파수($f_{REF}$)가 커질수록 위상 잡음의 스펙트럼 밀도는 낮아집니다.

2. Oversampled TDC의 수식 전개 (Noise Shaping)

Oversampling TDC는 위상을 기준 클럭보다 훨씬 높은 빈도로 샘플링하여, 양자화 노이즈를 고주파 대역으로 밀어내는 노이즈 쉐이핑(Sigma-Delta 방식과 유사) 효과를 얻습니다. 이 때의 수식은 다음과 같이 전개됩니다.

$S_{\varphi }(f){|}_{Oversampled}=S_{\varphi }(f){|}_{Nyquist}\times {\left|2\sin \left(\frac{\pi f_{BW}}{f_{REF}}\right)\right|}^2$

• 여기서 ${\left|2\sin \left(\frac{\pi f_{BW}}{f_{REF}}\right)\right|}^2$ 항은 디지털 루프 필터 및 노이즈 쉐이핑에 의한 전달 함수의 크기 제곱을 의미합니다.
• Small Angle Approximation: 일반적으로 PLL의 루프 대역폭($f_{BW}$)은 기준 클럭($f_{REF}$)에 비해 매우 작으므로($f_{BW}\ll f_{REF}$), 사인 함수는 $\sin (x)\approx x$ 로 근사할 수 있습니다.
• 근사를 적용하면 다음과 같이 정리됩니다. ${\left|2\sin \left(\frac{\pi f_{BW}}{f_{REF}}\right)\right|}^2\approx {\left|\frac{2\pi f_{BW}}{f_{REF}}\right|}^2$

3. OSR(Oversampling Ratio) 도입과 최종 수식

여기서 **OSR (Oversampling Ratio)**을 $OSR=\frac{f_{REF}}{2f_{BW}}$ 로 정의합니다. (나이퀴스트 기준 대역폭 대비 실제 샘플링 주파수의 비율) 이 OSR을 근사식에 대입하면 $\frac{2\pi f_{BW}}{f_{REF}}=\frac{\pi }{OSR}$ 로 간단히 치환됩니다.

최종적으로 유도되는 Oversampled TDC의 스펙트럼 밀도 수식은 아래와 같습니다. $S_{\varphi }(f){|}_{Oversampled}\cong {\left(2\pi T_{TDC}\right)}^2\frac{1}{12}\frac{f_{VCO}^2}{f_{REF}}{\left(\frac{\pi }{OSR}\right)}^2$

• 핵심 분석: Oversampling을 적용하게 되면 기존의 백색 잡음 스펙트럼 밀도에 ${\left(\frac{\pi }{OSR}\right)}^2$ 이 곱해집니다. 즉, OSR이 클수록 양자화 노이즈가 제곱에 비례하여 극적으로 감소함을 알 수 있습니다.

4. 회로 설계 관점의 통찰 (Engineering Insight)

1. “If $f_{REF}$ increases by $M$ times, then $T_{TDC}$ can be reduced by $\sqrt{M}$.”
   • 목표로 하는 위상 잡음(Phase Noise) 스펙을 동일하게 유지할 때, 기준 클럭 $f_{REF}$를 $M$배 높인다면(수식의 분모가 $M$배 커짐), TDC의 해상도 $T_{TDC}$ 조건은 $\sqrt{M}$ 배 만큼 완화(Relax)할 수 있습니다. 즉, 더 느린(설계하기 쉬운) Delay Cell을 사용해도 동일한 성능을 낼 수 있습니다.
2. “If oversampling TDC is used, then $T_{TDC}$ can be further reduced by $OSR/\pi$.”
   • Oversampling 기법을 사용하면 수식의 꼬리에 ${\left(\frac{\pi }{OSR}\right)}^2$ 이 곱해져 노이즈가 대폭 감소합니다. 따라서 동일한 위상 잡음을 달성하기 위한 TDC의 물리적 시간 해상도($T_{TDC}$) 요구조건을 추가적으로 $OSR/\pi$ 배 만큼 크게 완화할 수 있습니다. 미세 공정의 한계를 극복하고 고해상도 DPLL을 설계할 수 있게 해주는 핵심 원리입니다.