2. 발진기 노이즈 모델링 (상세)

본 문서는 KAIST 조성환 교수님의 “Phase Locked Loops” 강의 자료 중 2. Oscillator and Noise 파트를 상세하게 정리한 노트입니다.

1. 발진기 설계의 목표와 트레이드오프 (p.11)

좋은 발진기는 저노이즈(Low Noise, Low Jitter, Low Spur), 저전력(Low Power), **저비용(Low Cost, 작은 칩 면적)**을 만족해야 하지만, 노이즈, 전력, 비용 간에는 근본적인 트레이드오프(Trade-off)가 존재합니다. 특히 위상 노이즈를 줄이려면 일반적으로 발진기 탱크에 충분한 에너지가 있어야 하므로 전력 소모를 늘려야 합니다.

2. 노이즈의 종류: 위상 노이즈와 스퍼(Spur) (p.14)

진폭 노이즈(Amplitude Noise): 신호의 진폭이 흔들리지만, 신호의 영점(Zero-crossing)이나 엣지 타이밍에 큰 영향을 주지 않으며 대부분 리미터(Limiter)를 통해 쉽게 제거될 수 있어 시스템 성능에 덜 치명적입니다.
위상 노이즈(Phase Noise): 신호의 위상(타이밍)이 무작위로 흔들리는 현상입니다.
- 시간 도메인(Time Domain)에서는 **지터(Jitter, 특히 Random Jitter)**로 측정됩니다.
- 주파수 도메인(Frequency Domain)에서는 중심 주파수(Carrier) 주변의 **위상 노이즈 전력 스펙트럼 밀도 (Phase Noise PSD, $L (f)$ )**로 나타납니다.
스퍼(Spur): 랜덤한 열잡음 등이 아닌 특정 주파수에 존재하는 결정론적(Deterministic)이고 주기적인 노이즈입니다. (주로 Deterministic Jitter를 유발)

3. 로직 게이트(Logic)와 발진기(Oscillator)의 지터 차이점 (p.20)

로직 게이트(인버터 체인 등): 각각의 트랜지션에서 발생하는 지터는 독립적이며, 시간이 지나도 누적되지 않습니다 (Not accumulated). 측정 시간이 길어져도 지터의 분산이 무한히 커지지 않습니다.
발진기(Oscillator): 발진기는 본질적으로 닫힌 루프(Closed-loop) 안에서 스스로 타이밍을 유지하려 하기 때문에(이상적인 적분기로 동작), 내부에서 한 번 발생한 위상 오차(Jitter)는 시간에 따라 **무한히 누적(Accumulates without bound)**됩니다. 측정 구간(Measurement interval, $T$ )이 길어질수록 RMS 지터( $σ_{Δ}$ )는 측정 시간의 제곱근( $T$ )에 비례하여 계속해서 증가합니다.

4. 전통적인 선형 시불변(Linear Time-Invariant, LTI) 모델의 한계 (p.24)

전통적인 Leeson 모델 등은 발진기를 선형 시불변(LTI) 시스템으로 가정하고 노이즈를 분석했습니다. 하지만 이 이론적 수식은 실제 측정 데이터에서 나타나는 **1/f 노이즈(Flicker Noise)가 위상 노이즈로 업컨버전(Up-conversion)**되는 현상과 노이즈 플로어(Noise Floor)를 논리적으로 제대로 설명하지 못하는 한계가 있었습니다. 이를 끼워 맞추기 위해 실험적인 보정 상수(Fudge factors)를 억지로 도입해야만 했습니다.

5. Hajimiri의 선형 시변(Linear Time-Varying) 모델 (가장 중요) (p.35)

LTI 모델의 한계를 극복하기 위해 발진기를 ‘선형 시변(Linear Time-Varying) 시스템’으로 새롭게 해석하는 혁신적인 모델(Hajimiri & Lee, 1998)이 도입되었습니다.

ISF (Impulse Sensitivity Function, $Γ (τ)$ ): 노이즈 전류(Impulse)가 발진기 전압 파형의 ‘어느 시점(Phase)‘에 주입되느냐에 따라 위상 변화량이 다르다는 것을 수학적으로 나타내는 무차원 주기 함수입니다.
주요 특징:
- 전압 파형의 피크(Peak)나 바텀(Bottom)과 같이 기울기가 0인 지점에서는 노이즈가 주입되어도 위상에 미치는 영향(민감도)이 거의 없습니다 ( $Γ (τ) \approx 0$ ). 진폭만 흔들리게 됩니다.
- 반대로, 전압 파형의 **Zero-crossing (기울기가 최대인 지점)**에 노이즈가 주입되면 위상이 가장 극심하게 흔들립니다 ( $Γ (τ)$ 최대).
설계적 시사점 (Design Implications):
- 노이즈에 민감하지 않은 시간(피크/바텀)에만 에너지를 주입하도록 회로를 설계하면 위상 노이즈를 획기적으로 줄일 수 있습니다. (예: 모든 구간에서 연속적으로 에너지를 충방전하는 Ring Oscillator가 LC Oscillator보다 위상 노이즈 성능이 나쁜 이유를 명확히 설명해줍니다.)
- 1/f 노이즈 코너 감소: ISF $Γ (τ)$ 를 푸리에 급수로 전개했을 때, DC 성분인 $c_{0}$ 값은 MOSFET 소자 자체의 1/f 노이즈가 위상 노이즈로 변환되는 비율을 결정합니다. 발진기 파형을 완벽하게 대칭(Symmetric)으로 만들고 상승/하강 시간(Rise/Fall time)을 일치시키면 $c_{0}$ 를 0에 가깝게 최소화할 수 있어 1/f 위상 노이즈의 영향을 대폭 줄일 수 있습니다.

6. F.O.M. (Figure of Merit) (p.44)

주파수 대역, 튜닝 범위, 측정 오프셋 주파수가 서로 다른 발진기들의 성능을 공정하게 비교하기 위해 전력 소모까지 모두 고려한 범용적인 F.O.M. 지표를 사용합니다. $FOM = L (o ff se t) - 20 lo g (\frac{f _{osc}}{f _{o ff se t}}) + 10 lo g (\frac{P _{d i ss i p a t i o n}}{1 mW})$ 이 FOM 값은 발진기의 ‘유효 Q-Factor(Effective Q)‘를 나타냅니다. LC 발진기는 대체로 -180dB 수준의 좋은 값을 가지는 반면, Ring 발진기의 FOM 한계는 대략 -165dB 수준으로 알려져 있습니다.

7. 위상 노이즈(Phase Noise)와 지터(Jitter)의 관계 (p.23)

이론적으로 주파수 도메인의 위상 노이즈 전력 스펙트럼 밀도( $L (f)$ )를 적분(Integrate)하면 시간 도메인의 RMS 지터를 얻을 수 있습니다. 그러나 $0$ 부터 무한대 주파수까지 무조건 적분할 수는 없으며, 시스템이 동작하는 대역폭이나 신호를 처리하는 샘플링 대역폭(예: DSP 클럭, ADC 대역폭) 등 애플리케이션의 실제 특성에 맞춰 적절한 적분 구간(Integral range)을 한정해야 의미 있는 지터 값을 계산할 수 있습니다.

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