분산: 이산 데이터, 연속 파형, RMS

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핵심 결론

• 분산은 평균을 제거한 변동의 평균 제곱이며, 노이즈 power를 나타낸다.
• 평균이 0일 때만 분산 = 평균 제곱 = RMS²가 성립한다.
• 독립 노이즈를 합칠 때는 RMS가 아니라 분산을 더한 뒤 마지막에 제곱근을 취한다.

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1. 왜 분산이 필요한가

평균만으로는 파형이 DC 주변에서 얼마나 흔들리는지 알 수 없다. 분산은 DC 또는 원하는 신호 성분을 제거한 뒤 남은 변동의 크기를 제곱 단위로 요약한다.

알고 싶은 것	사용하는 값
파형의 중심 또는 DC	평균 ${\mu }_x$
평균 주변의 noise power	분산 ${\sigma }_x^2$
원래 신호와 같은 단위의 noise 크기	표준편차 ${\sigma }_x$ 또는 AC RMS

2. 핵심 수식

2.1 이산 데이터

$N$개의 샘플에 대해

$${\mu }_x=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]$$ $${\sigma }_x^2=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}(x[n]-{\mu }_x{)}^2$$ $${\sigma }_x^2=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{x}^2[n]-{\mu }_x^2=E[x^2]-E[x{]}^2$$

2.2 연속 파형

유한 시간 구간 $[t_0,t_0+T]$에서 파형 $x(t)$의 시간 평균은

$${\mu }_x=\frac{1}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}x(t)dt$$

이고, 시간 분산은

$${\sigma }_x^2=\frac{1}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}(x(t)-{\mu }_x{)}^{2}dt$$

이다. 마찬가지로

$${\sigma }_x^2=\frac{1}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}{x}^2(t)dt-{\mu }_x^2$$

로 쓸 수 있다.

2.3 확률 변수

확률 변수 $X$는 시간 적분 대신 확률 밀도 $p_X(x)$로 가중한 ensemble average를 사용한다.

$$\mathrm{Var}(X)={\int }_{-\infty }^{\infty }(x-{\mu }_X{)}^2{p}_X(x)dx$$

3. 계산 순서

1. 분석 구간 또는 샘플 집합을 정한다.
2. 평균 ${\mu }_x$를 구한다.
3. 각 값에서 평균을 빼 AC 변동 $x-{\mu }_x$를 얻는다.
4. AC 변동을 제곱하고 평균하여 분산 ${\sigma }_x^2$을 구한다.
5. 원래 신호와 같은 단위의 noise가 필요하면 ${\sigma }_x=\sqrt{{\sigma }_x^2}$를 계산한다.

4. RMS와 분산의 관계

RMS(root mean square)는

$$x_{\mathrm{RMS}}=\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}{x}^2(t)dt}=\sqrt{E[x^2]}$$

이다. 분산과 비교하면

$$x_{\mathrm{RMS}}^2={\sigma }_x^2+{\mu }_x^2$$

이므로, 평균이 0일 때만

$$\boxed{{\sigma }_x^2=E[x^2]=x_{\mathrm{RMS}}^2}$$

가 된다. 따라서 일반 파형에서는 다음 두 표현을 구분해야 한다.

표현	포함 성분	관계
전체 RMS	DC + AC 변동	$x_{\mathrm{RMS}}=\sqrt{{\sigma }_x^2+{\mu }_x^2}$
AC RMS 또는 RMS noise	평균을 제거한 변동	$x_{n,\mathrm{RMS}}={\sigma }_x$

4.1 예: DC 위에 사인파가 있는 경우

$$x(t)=V_{DC}+A\cos (2\pi f_{0}t)$$

정수 개 주기를 관측하면

$${\mu }_x=V_{DC},{\sigma }_x^2=\frac{A^2}{2},x_{\mathrm{RMS}}^2=V_{DC}^2+\frac{A^2}{2}$$

이다. DC를 제거한 AC 성분의 RMS는 $A/\sqrt{2}$이다.

5. 결과를 읽는 방법

입력 단위	분산 단위	표준편차·RMS 단위
V	${\mathrm{V}}^2$	V
A	${\mathrm{A}}^2$	A
rad	$\mathrm{ra}{\mathrm{d}}^2$	rad

실제 회로 스펙에서는 RMS가 직관적이지만, 독립 노이즈의 합이나 PSD 적분에는 제곱 단위인 분산이 자연스럽다.

$$\boxed{\text{분산들을 먼저 더한 뒤 마지막에 제곱근을 취한다.}}$$

6. 흔한 오해와 주의점

주의점	올바른 해석
전체 RMS를 noise RMS로 사용	DC를 제거한 AC RMS가 표준편차와 같다.
분모 $N$과 $N-1$을 혼용	파형 자체를 계산하면 $N$, 모집단 분산을 추정하면 보통 $N-1$을 사용한다.
관측 구간을 명시하지 않음	주기 신호는 정수 개 주기, 비주기 신호는 충분히 긴 구간을 사용한다.
RMS noise를 직접 더함	비상관 noise는 분산 또는 RMS 제곱을 더한다.

표본 분산은 다음과 같다.

$$s_x^2=\frac{1}{N-1}\sum _{n=0}^{N-1}(x[n]-\bar{x}{)}^2$$

7. 다음 개념과의 연결

분산을 여러 성분으로 나누어 더할 수 있는 조건은 직교성과 비상관성이다. 다음 문서에서는 이 성질이 FFT와 PSD로 어떻게 이어지는지 설명한다.

다음 문서: 함수의 직교성과 분산의 합