함수의 직교성, 분산의 합, Parseval 정리

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핵심 결론

• 직교하거나 비상관인 성분은 교차항이 0이므로 분산을 서로 더할 수 있다.
• FFT의 주파수 기저는 직교하므로 전체 power를 bin별 power의 합으로 나눌 수 있다.
• Parseval 정리는 시간 영역의 평균 제곱과 주파수 영역의 power 합이 같다는 관계다.

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1. 왜 직교성이 필요한가

노이즈를 주파수 성분이나 여러 noise source로 나눈 뒤 다시 합치려면, 각 성분의 power를 단순히 더해도 되는지 판단해야 한다. 직교성 또는 비상관성은 교차항이 사라지는 조건이며, 이 조건이 만족될 때만 분산과 PSD를 성분별로 더할 수 있다.

$$\boxed{\text{직교cdotp비상관}\Rightarrow \text{교차항}=0\Rightarrow \text{전체 power}=\text{성분별 power의 합}}$$

2. 핵심 개념과 수식

2.1 함수의 내적

복소 함수 $x(t)$와 $y(t)$의 유한 구간 내적을

$$⟨x,y⟩=\frac{1}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}x(t)y^{\ast }(t)dt$$

로 정의한다. ${}^{\ast }$는 complex conjugate이다. 실수 함수에서는 단순히 $x(t)y(t)$를 적분하면 된다.

내적은 벡터의 dot product와 같은 역할을 한다.

• $⟨x,x⟩$: 함수의 평균 제곱 또는 norm의 제곱
• $⟨x,y⟩$: 두 함수가 같은 방향의 성분을 얼마나 공유하는지
• $⟨x,y⟩=0$: 두 함수가 서로 직교

정규 직교(orthonormal) 기저 $\{{\varphi }_k(t)\}$는

$$⟨{\varphi }_k,{\varphi }_m⟩={\delta }_{km}$$

을 만족한다.

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2.2 FFT 기저의 직교성

복소 지수 함수

$${\varphi }_k(t)=e^{j2\pi kt/T}$$

는 길이 $T$의 구간에서 서로 직교한다.

$$\frac{1}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}{e}^{j2\pi kt/T}{e}^{-j2\pi mt/T}dt={\delta }_{km}$$

사인과 코사인도 정수 개 주기를 포함하는 구간에서 서로 직교한다. FFT가 파형을 주파수 bin으로 분해할 수 있는 이유가 바로 이 직교성이다.

관측 구간 안에 신호 주기가 정수 개 들어오지 않으면 FFT 기저와 정확히 직교하지 않아 spectral leakage가 생긴다. Window는 leakage를 줄이는 대신 main-lobe 폭과 noise bandwidth를 변화시킨다.

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2.3 직교 성분들의 분산은 더해진다

평균이 0인 두 성분 $x_1(t)$, $x_2(t)$의 합을

$$x(t)=x_1(t)+x_2(t)$$

라 하면

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_x^2& =E[(x_1+x_2{)}^2]\\ & =E[x_1^2]+E[x_2^2]+2E[x_1{x}_2]\end{array}$$

이다. 두 성분이 직교하거나 비상관(uncorrelated)이면 $E[x_1{x}_2]=0$이므로

$$\boxed{{\sigma }_x^2={\sigma }_{x_1}^2+{\sigma }_{x_2}^2}$$

가 된다. 여러 성분에 대해서도

$$x=\sum _k{x}_k,E[x_k{x}_m^{\ast }]=0(k\ne m)\Rightarrow {\sigma }_x^2=\sum _k{\sigma }_{x_k}^2$$

이다.

2.4 중요한 조건

• 단순히 서로 다른 이름의 노이즈원이라고 해서 항상 더할 수 있는 것은 아니다.
• 상관관계가 있으면 cross-spectral term 또는 covariance를 포함해야 한다.
• 평균이 0이 아니면 먼저 평균을 제거하거나 평균 제곱과 분산을 구분해야 한다.

일반적인 두 확률 변수의 합에서는

$$\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y)$$

이다.

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3. 계산 또는 확인 순서

1. 각 성분의 평균을 제거한다.
2. 두 함수의 내적 $⟨x,y⟩$ 또는 두 랜덤 성분의 covariance를 계산한다.
3. 결과가 0이면 직교 또는 비상관 조건이 성립한다.
4. 조건이 성립하면 성분별 분산을 더한다.
5. 조건이 성립하지 않으면 covariance 또는 cross-spectral term을 포함한다.

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4. 직교 전개와 계수의 power

정규 직교 기저로

$$x(t)=\sum _k{c}_k{\varphi }_k(t),c_k=⟨x,{\varphi }_k⟩$$

와 같이 전개하면

$$⟨x,x⟩=\sum _k|c_k{|}^2$$

이다. 왼쪽은 시간 파형의 평균 제곱이고, 오른쪽은 서로 직교하는 성분의 평균 제곱 합이다.

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5. Parseval 정리

주기 함수의 복소 Fourier series

$$x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{C}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}$$

에 대한 Parseval 정리는

$$\frac{1}{T_0}{\int }_{T_0}|x(t){|}^{2}dt=\sum _{k=-\infty }^{\infty }|C_k{|}^2$$

이다. 비주기 에너지 신호의 Fourier transform 쌍에서는

$${\int }_{-\infty }^{\infty }|x(t){|}^{2}dt={\int }_{-\infty }^{\infty }|X(f){|}^{2}df$$

가 된다. 여기서는 $X(f)=\int x(t)e^{-j2\pi ft}dt$ 정의를 사용했다.

DFT에서는 $X[k]={\sum }_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N}$로 정의할 때

$$\sum _{n=0}^{N-1}|x[n]{|}^2=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}|X[k]{|}^2$$

이다. FFT 라이브러리의 정규화 정의에 따라 $N$ 계수의 위치는 달라질 수 있지만, 양쪽의 전체 power가 같다는 물리적 의미는 동일하다.

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6. 결과를 읽는 방법

결과	의미	처리 방법
$⟨x,y⟩=0$	두 함수가 직교	power를 독립적으로 더할 수 있음
$\mathrm{Cov}(X,Y)=0$	두 랜덤 성분이 비상관	분산을 더할 수 있음
covariance가 0이 아님	성분 사이에 선형 상관 존재	covariance 또는 cross PSD 포함
시간·주파수 영역 power가 다름	FFT 정규화 또는 window 보정 문제 가능	$N$, coherent gain, ENBW 확인

유한 시간 FFT에서는 분산이 주파수 bin별 power의 합으로 표현된다. 관측 시간을 늘려 $\Delta f=1/T$가 작아지면 이산적인 bin power를 주파수 밀도로 표현할 수 있고, 극한에서

$${\sigma }_x^2=\int S_x(f)df$$

가 된다. 즉, PSD 적분 공식은 Parseval 정리를 랜덤 프로세스의 평균적 주파수 분포에 적용한 결과로 볼 수 있다.

7. 흔한 오해와 주의점

흔한 오해	올바른 해석
서로 다른 noise source이면 항상 RSS 가능	상관관계를 먼저 확인해야 한다.
서로 다른 FFT bin은 언제나 완전히 분리됨	유한 관측 구간이 기저와 맞지 않으면 leakage가 생긴다.
Window는 leakage만 줄임	main-lobe 폭과 ENBW도 바뀌므로 power 보정이 필요하다.
평균이 있는 파형의 평균 제곱을 분산으로 해석	평균을 제거하거나 DC power와 noise variance를 분리한다.

8. 다음 개념과의 연결

직교성은 하나의 관측 파형을 주파수 성분으로 나누는 근거다. 다음 문서에서는 매번 달라지는 노이즈 파형을 랜덤 프로세스로 표현하고, 자기상관과 PSD로 연결한다.

다음 문서: 노이즈를 함수처럼 보는 방법