노이즈를 함수처럼 보는 방법

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노이즈는 결정론적 함수 하나가 아니라, 같은 조건에서도 관측할 때마다 다른 파형을 만드는 랜덤 프로세스(random process) 이다. 측정기와 시뮬레이터는 이 프로세스에서 유한 시간 동안 얻은 하나의 realization 또는 record를 분석한다.

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1. 노이즈는 랜덤 프로세스

핵심 결론

• 노이즈의 순간 파형은 측정할 때마다 달라진다.
• 따라서 파형 자체보다 통계적 특성을 분석해야 한다.
• 자기상관은 노이즈의 시간적 구조를, PSD는 주파수별 power 분포를 나타낸다.

전체 흐름

$$\boxed{\text{랜덤 파형}⟶\text{평균cdotp분산}⟶\text{자기상관}\stackrel{\text{Fourier transform}}{\leftrightarrow }\text{PSD}}$$

1.1 랜덤 프로세스와 realization

같은 회로를 같은 조건에서 반복 측정해도 노이즈 파형은 매번 달라진다.

표현	고정하는 것	의미
$X(t,\omega )$	없음	나올 수 있는 모든 파형을 포함한 랜덤 프로세스
$X(t_0,\omega )$	시간 $t=t_0$	여러 측정값으로 이루어진 하나의 확률 변수
$x(t)=X(t,{\omega }_0)$	측정 결과 $\omega ={\omega }_0$	실제로 관측한 파형 하나, 즉 realization

• $t$: 파형에서 바라보는 시간 위치
• $\omega$: 여러 측정 결과 중 하나를 구분하는 인덱스

$X(t,\omega )$의 의미

$X(t,\omega )$는 확률분포함수가 아니라 랜덤 프로세스 자체를 나타낸다.

표현	의미
$X(t,\omega )$	시간과 측정 결과에 따라 값이 정해지는 랜덤 프로세스
$X(t_0,\omega )$	시간을 $t_0$로 고정했을 때의 확률 변수
$x(t)=X(t,{\omega }_0)$	한 측정 결과를 고정했을 때의 realization
$F_{X(t_0)}(x)$	$X(t_0,\omega )$의 누적분포함수(CDF)
$p_{X(t_0)}(x)$	$X(t_0,\omega )$의 확률밀도함수(PDF)

시간을 고정한 확률 변수의 CDF는

$$F_{X(t_0)}(x)=P\left(X(t_0,\omega )\le x\right)$$

로 쓴다. 즉, 대문자 $X$는 보통 랜덤 프로세스 또는 확률 변수를 나타내며, 확률분포는 $F_X$ 또는 $p_X$처럼 별도로 표현한다.

1.2 자기상관이 필요한 이유

통계량	알 수 있는 것	알 수 없는 것
평균	파형의 중심 또는 DC 성분	노이즈 크기와 시간적 변화
분산	전체 노이즈 power	노이즈가 빠르게 또는 느리게 변하는지
자기상관	두 시각의 값이 얼마나 관련되어 있는지	주파수별 표현은 직접 보여 주지 않음
PSD	power가 주파수별로 어떻게 분포하는지	—

예를 들어 white noise와 저주파 노이즈는 평균과 분산이 같아도 시간에 따라 변하는 속도와 회로에 미치는 영향이 다를 수 있다. 이 차이를 구분하려면 두 시각의 노이즈 값이 얼마나 닮아 있는지 측정해야 한다. 이것이 자기상관을 도입하는 이유다.

1.3 평균과 자기상관의 계산

평균

각 시각에서 여러 측정값을 평균한다.

$$m_X(t)=E_{\omega }[X(t,\omega )]$$

자기상관

$$R_X(t_1,t_2)=E_{\omega }\left[X(t_1,\omega )\cdot (X(t_2,\omega ){)}^{\ast }\right]$$

계산 순서는 다음과 같다.

1. 같은 측정 파형에서 $t_1$과 $t_2$의 값을 선택한다.
2. 두 값을 곱한다.
3. 모든 측정 파형에서 같은 계산을 반복한다.
4. 계산한 곱들을 평균한다.

여기서 $\cdot$은 곱셈이고, ${}^{\ast }$는 complex conjugate이다. 실수 전압·전류 파형에서는 $X^{\ast }=X$이므로 단순한 값의 곱으로 계산한다.

왜 켤레복소수를 곱하는가?

핵심: 켤레복소수는 자기상관을 복소 신호의 내적으로 만들어, 같은 시각에서는 실제 power가 되고 서로 다른 시각에서는 위상 차이를 비교할 수 있게 한다.

1. 같은 시각에서는 mean-square power가 된다

$t_1=t_2=t$이면

$$R_X(t,t)=E\left[X(t)X^{\ast }(t)\right]=E\left[|X(t){|}^2\right]$$

이다. $X(t)X^{\ast }(t)=|X(t){|}^2\ge 0$이므로 자기상관의 원점 값은 항상 실수이고 음수가 아닌 mean-square power가 된다. 켤레를 사용하지 않은 $E[X^2(t)]$는 복소수가 될 수 있어 power로 해석하기 어렵다.

2. 절대 시각이 아니라 시간 차이를 남긴다

복소 지수 $x(t)=e^{j{\omega }_{0}t}$에 대해

$$x(t)x^{\ast }(t-\tau )=e^{j{\omega }_{0}t}{e}^{-j{\omega }_0(t-\tau )}=e^{j{\omega }_0\tau }$$

가 되어 절대 시각 $t$가 사라지고 시간 차이 $\tau$만 남는다. 켤레를 사용하지 않으면 $x(t)x(t-\tau )=e^{j{\omega }_0(2t-\tau )}$가 되어 절대 시각에 계속 의존한다.

3. PSD를 power density로 해석할 수 있게 한다

켤레를 사용한 자기상관은

$$R_X(-\tau )=R_X^{\ast }(\tau )$$

의 Hermitian symmetry를 만족하고 positive-semidefinite한 correlation을 이룬다. 따라서 Fourier transform한 PSD는 실수이고 음수가 아닌 power density가 된다.

실수 전압·전류 파형에서는 $X^{\ast }(t)=X(t)$이므로 켤레 표시의 유무가 결과에 영향을 주지 않는다. 켤레복소수는 I/Q 또는 complex-baseband 신호에서 중요하다.

1.4 자기상관을 읽는 방법

자기상관의 모습	의미
$R_X(t,t)$	해당 시각의 mean-square value. 평균이 0이면 분산
시간 간격이 작을 때 큰 값	가까운 시각의 노이즈 값들이 서로 유사함
시간 간격과 함께 빠르게 감소	노이즈가 빠르게 변하며 넓은 주파수 대역에 분포
오랜 시간 동안 유지	노이즈가 천천히 변하며 저주파 성분이 강함
0에 가까움	평균이 0인 경우 두 시각의 값 사이에 선형적인 관련성이 작음

특히 두 시각이 같으면

$$R_X(t,t)=E_{\omega }\left[|X(t,\omega ){|}^2\right]$$

이다. 따라서 자기상관은 시간 간격이 0일 때 노이즈 power를 나타내고, 시간 간격을 늘리면 노이즈의 시간적 기억이 얼마나 유지되는지를 보여 준다.

1.5 WSS와 PSD의 연결

wide-sense stationary(WSS) 프로세스에서는 다음 두 조건이 성립한다.

1. 평균이 시간에 따라 변하지 않는다.
2. 자기상관은 절대 시각이 아니라 시간 차이 $\tau =t_1-t_2$에만 의존한다.

$$m_X(t)={\mu }_X,R_X(t_1,t_2)=R_X(\tau )$$

이때 자기상관을 Fourier transform하면 PSD를 얻는다.

$$S_X(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }{R}_X(\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau$$

이를 Wiener-Khinchin relation이라고 한다.

관점	표현	보여 주는 것
시간 영역	$R_X(\tau )$	노이즈의 시간적 기억과 변화 속도
주파수 영역	$S_X(f)$	노이즈 power의 주파수별 분포

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2. 유한 시간 관측 파형

핵심 결론: 실제 측정은 랜덤 프로세스 전체가 아니라 유한 시간의 realization 하나를 관측한다. 관측 시간은 frequency resolution을, sampling frequency는 관측 대역을 결정한다.

2.1 왜 유한 관측 조건을 확인해야 하는가

같은 노이즈라도 record 길이, sampling frequency, window에 따라 FFT bin과 추정값의 흔들림이 달라진다. PSD를 비교하려면 먼저 관측 조건을 명시해야 한다.

실제 측정에서는 무한 시간이나 무한 번의 ensemble을 얻을 수 없다. 샘플링 주파수 $f_s$로 $N$개의 샘플을 얻으면

$$T_{obs}=\frac{N}{f_s},\Delta f=\frac{1}{T_{obs}}=\frac{f_s}{N}$$

이다.

변수	의미	증가할 때의 영향
$N$	sample 수	$f_s$ 고정 시 관측 시간 증가, $\Delta f$ 감소
$f_s$	sampling frequency	Nyquist 대역 증가
$T_{obs}=N/f_s$	관측 시간	길수록 frequency resolution 향상
$\Delta f=1/T_{obs}$	FFT bin 간격	작을수록 가까운 주파수를 구분하기 쉬움

2.2 측정 순서

1. 필요한 최대 주파수에 맞춰 $f_s$를 정한다.
2. 필요한 $\Delta f$에 맞춰 $T_{obs}$와 $N$을 정한다.
3. Sampling 전에 anti-alias filter를 적용한다.
4. 여러 record를 취득해 통계적 흔들림을 확인한다.

한 개 record의 시간 평균이 ensemble 평균에 가까워지려면 프로세스가 ergodic하다는 가정이 필요하다. 회로 노이즈 측정에서는 대개 정상성 및 ergodicity를 실무적으로 가정하지만, drift나 주파수 변화가 크면 성립하지 않을 수 있다.

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3. FFT를 통한 주파수 성분 분해

핵심 결론: FFT는 유한 파형을 직교 주파수 성분으로 분해하지만, FFT 계수 자체는 PSD가 아니다. Power와 PSD를 얻으려면 magnitude squared와 정규화가 필요하다.

3.1 왜 FFT를 사용하는가

자기상관은 노이즈의 시간 구조를 보여 주지만, 회로의 bandwidth 및 전달 함수와 결합하려면 주파수별 표현이 편리하다. FFT는 실제 record를 주파수 bin으로 분해하는 계산 도구다.

DFT는 유한 샘플 $x[n]$을 서로 직교하는 복소 지수 성분으로 분해한다.

$$X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N}$$

$k$번째 bin의 주파수는

$$f_k=\frac{k}{N}{f}_s=k\Delta f$$

이다. 실수 파형의 DFT는 conjugate symmetry를 가지므로 음의 주파수 성분과 양의 주파수 성분이 쌍을 이룬다.

3.2 실무적인 전처리

1. 평균 제거: DC leakage가 주변 저주파 bin을 오염시키는 것을 줄인다.
2. Detrend: 분석 대상이 아닌 선형 drift를 제거한다.
3. Window 적용: record 양 끝의 불연속으로 인한 spectral leakage를 줄인다.
4. FFT 계산: 직교 주파수 성분의 복소 계수를 구한다.
5. 정규화 보정: $N$, $f_s$, window coherent gain, ENBW를 반영한다.
6. 여러 record 평균: periodogram의 통계적 흔들림을 줄인다. Welch method가 대표적이다.

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4. FFT 결과와 power spectrum의 차이

핵심 결론: FFT는 복소 진폭, power spectrum은 bin당 power, PSD는 Hz당 power, ASD는 PSD의 제곱근이다.

4.1 FFT 결과 $X[k]$

• 복소수 값으로 amplitude와 phase 정보를 모두 가진다.
• 샘플 수 $N$, FFT 정규화 방식, window 크기에 따라 수치가 달라진다.
• 단위는 사용하는 DFT 정의에 의존하며, 그대로는 보통 ${\mathrm{V}}^2/Hz$ 같은 PSD가 아니다.

4.2 Power spectrum

FFT magnitude의 제곱을 적절히 정규화한 bin당 power이다.

$$P[k]\propto |X[k]{|}^2$$

단위는 전압 파형이면 보통 ${\mathrm{V}}^2/bin$ 또는 간단히 ${\mathrm{V}}^2$로 해석한다. 모든 bin의 power를 더하면 시간 영역의 평균 제곱과 일치해야 한다.

4.3 Power spectral density

bin power를 bin 폭 $\Delta f$로 나눈 Hz당 power이다.

$$S_x[k]=\frac{P[k]}{\Delta f}$$

전압 파형이면 단위는 ${\mathrm{V}}^2/Hz$이다. 따라서 record 길이가 바뀌어 $\Delta f$가 변하더라도 이상적인 white-noise PSD의 평균 레벨은 유지된다.

표현	핵심 정보	대표 단위	bin 폭 변화의 영향
FFT $X[k]$	복소 진폭과 위상	정규화 정의에 의존	큼
Power spectrum $P[k]$	bin 하나에 담긴 power	${\mathrm{V}}^2/bin$	$\Delta f$에 비례
PSD $S_x[k]$	1 Hz당 power	${\mathrm{V}}^2/Hz$	이상적으로 불변
ASD $\sqrt{S_x[k]}$	1 $\sqrt{\mathrm{Hz}}$당 RMS amplitude	$V/\sqrt{\mathrm{Hz}}$	이상적으로 불변

4.4 변환 순서

$$X[k]\stackrel{|\cdot {|}^2\text{ 및 정규화}}{\to }P[k]\stackrel{/\Delta f}{\to }{S}_x[k]\stackrel{\sqrt{}}{\to }\sqrt{S_x[k]}$$

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5. One-sided와 two-sided spectrum

핵심 결론: 표현 범위는 달라도 적분한 전체 power는 같아야 한다. 실수 파형의 one-sided PSD는 DC와 Nyquist를 제외한 양의 주파수 성분을 2배로 만든다.

실수 파형에서는 양·음 주파수 power가 대칭이다.

• two-sided PSD: $-f_s/2$에서 $+f_s/2$까지 표시
• one-sided PSD: $0$에서 $f_s/2$까지만 표시하고, DC와 Nyquist bin을 제외한 양의 주파수 PSD를 2배로 함

따라서 어느 표현을 사용해도 적분한 전체 분산은 같아야 한다.

$${\int }_{-f_s/2}^{f_s/2}{S}_x^{(2)}(f)df={\int }_0^{f_s/2}{S}_x^{(1)}(f)df$$

항목	Two-sided	One-sided
표시 범위	$-f_s/2$ ~ $+f_s/2$	$0$ ~ $f_s/2$
양의 주파수 PSD	원래 값	DC·Nyquist를 제외하고 2배
전체 적분 power	동일	동일

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6. 흔한 오류

흔한 오류	문제	올바른 방법
$	FFT	$를 PSD로 부름
$	FFT	^2$만 사용
One-sided 2배 보정 누락·중복	전체 power가 2배 차이	DC와 Nyquist를 제외한 bin만 한 번 보정
$20{\log }_{10}$와 $10{\log }_{10}$ 혼동	dB 값 오류	amplitude는 20, power는 10 사용
Zero padding을 resolution 향상으로 해석	보간점만 증가	실제 resolution은 $1/T_{obs}$로 결정
Tone bin power와 broadband PSD를 직접 비교	단위와 bandwidth가 다름	Tone power와 Hz당 noise power를 구분

7. 다음 개념과의 연결

유한 record에서 얻은 PSD를 관심 대역에서 적분하면 noise variance와 RMS를 계산할 수 있다. 다음 문서에서는 PSD의 단위, one-sided/two-sided 적분, ENBW를 이용한 실제 계산을 정리한다.

다음 문서: 노이즈 분산과 PSD