노이즈 분산과 PSD

상위 문서: Noise

핵심 결론

• PSD는 노이즈 분산이 주파수에 어떻게 분포하는지를 나타낸다.
• 원하는 대역의 PSD를 적분하면 noise variance, 제곱근을 취하면 RMS noise가 된다.
• ASD는 PSD의 제곱근이며, 여러 비상관 noise source는 ASD가 아니라 PSD로 더한다.

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1. 왜 PSD가 필요한가

분산은 전체 노이즈 크기는 알려 주지만 어느 주파수의 노이즈가 지배적인지는 알려 주지 않는다. 회로의 전달 함수와 대역폭은 주파수에 따라 다르므로, 실제 출력 noise를 계산하려면 전체 분산을 Hz당 power로 나눈 PSD가 필요하다.

$$\boxed{\text{전체 noise power}={\int }_{\text{관심 대역}}\text{주파수별 noise power density}df}$$

2. 핵심 수식: 자기상관과 PSD

wide-sense stationary 랜덤 프로세스 $x(t)$의 자기상관 함수가

$$R_x(\tau )=E[x(t)x^{\ast }(t-\tau )]$$

일 때, PSD는 Wiener-Khinchin relation으로 정의할 수 있다.

$$S_x(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }{R}_x(\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau$$

반대로

$$R_x(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }{S}_x(f)e^{j2\pi f\tau }df$$

이다. $\tau =0$을 대입하면

$$R_x(0)=E[|x(t){|}^2]={\int }_{-\infty }^{\infty }{S}_x(f)df$$

를 얻는다. 평균이 0이면 $R_x(0)={\sigma }_x^2$이다. 평균이 0이 아니면 DC에 impulse 성분이 포함되므로, 노이즈 PSD를 구할 때는 보통 평균을 먼저 제거한다.

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3. 유한 관측에서의 PSD 추정

유한 길이 $T$의 관측 파형을

$$x_T(t)=x(t),-T/2\le t\le T/2$$

로 자르고 Fourier transform한 결과를 $X_T(f)$라 하면, 이상적인 PSD는 직관적으로

$$S_x(f)=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}E[|X_T(f){|}^2]$$

로 볼 수 있다. 하나의 record에서 계산한 $|X_T(f){|}^2/T$는 periodogram이며, 분산이 큰 추정량이다. 실제 측정에서는 여러 record를 평균하거나 Welch method를 사용해 더 안정적인 PSD를 얻는다.

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4. PSD와 ASD의 단위

$x$의 단위가 $U$라면

물리량	표현	단위
분산 / mean-square	${\sigma }_x^2$	$U^2$
RMS / 표준편차	$x_{n,\mathrm{RMS}}$	$U$
Power spectral density	$S_x(f)$	$U^2/\mathrm{Hz}$
Amplitude spectral density	$\sqrt{S_x(f)}$	$U/\sqrt{\mathrm{Hz}}$

예를 들어 전압 noise density가 $10nV/\sqrt{\mathrm{Hz}}$이면 PSD는

$$S_v=(10nV/\sqrt{\mathrm{Hz}}{)}^2=100\mathrm{n}{\mathrm{V}}^2/Hz$$

이다.

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5. One-sided, two-sided, noise 합산

two-sided PSD와 one-sided PSD는 각각

$${\sigma }_x^2={\int }_{-\infty }^{\infty }{S}_x^{(2)}(f)df={\int }_0^{\infty }{S}_x^{(1)}(f)df$$

를 만족하도록 정의한다. 실수 신호에서 $f>0$이면 보통

$$S_x^{(1)}(f)=2S_x^{(2)}(f)$$

이다. 문헌이나 시뮬레이터의 PSD가 어느 정의인지 모르면 2배, 즉 3.01 dB 오차가 생길 수 있다.

각기 비상관인 여러 노이즈원이 출력에 기여하면 PSD도 더해진다.

$$S_{y,\mathrm{total}}(f)=\sum _k{S}_{y,k}(f)$$

amplitude density는 직접 더하지 않고 제곱하여 더한다.

$$e_{n,\mathrm{total}}(f)=\sqrt{e_{n,1}^2(f)+e_{n,2}^2(f)+\cdots }$$

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6. 계산 순서: 대역 제한 RMS noise

1. PSD가 one-sided인지 two-sided인지 확인한다.
2. 입력 noise PSD에 전달 함수의 magnitude squared를 곱해 출력 PSD를 구한다.
3. 원하는 주파수 대역에서 출력 PSD를 적분한다.
4. 여러 비상관 noise source의 적분값, 즉 분산을 더한다.
5. 마지막에 제곱근을 취해 RMS noise를 구한다.

이상적인 brick-wall 대역 $[f_L,f_H]$에서 one-sided PSD를 사용하면

$${\sigma }_{x,B}^2={\int }_{f_L}^{f_H}{S}_x(f)df$$ $$\boxed{x_{n,\mathrm{RMS}}=\sqrt{{\int }_{f_L}^{f_H}{S}_x(f)df}}$$

이다.

6.1 White noise

PSD가 $S_0$로 평탄하고 대역폭이 $B=f_H-f_L$이면

$${\sigma }_x^2=S_{0}B,x_{n,\mathrm{RMS}}=\sqrt{S_{0}B}$$

이다. ASD $e_n=\sqrt{S_0}$로 표현하면

$$x_{n,\mathrm{RMS}}=e_n\sqrt{B}$$

이다.

예를 들어 $e_n=10nV/\sqrt{\mathrm{Hz}}$, $B=1\mathrm{MHz}$이면

$$v_{n,\mathrm{RMS}}=10nV/\sqrt{\mathrm{Hz}}\sqrt{10^6\mathrm{Hz}}=10\mu \mathrm{V}$$

이다.

6.2 실제 필터를 통과한 white noise

전달 함수가 $H(f)$이면

$$S_y(f)=|H(f){|}^2{S}_0$$

이므로

$${\sigma }_y^2=S_0{\int }_0^{\infty }|H(f){|}^{2}df$$

이다. 이때

$$B_{\mathrm{ENBW}}=\frac{1}{|H(0){|}^2}{\int }_0^{\infty }|H(f){|}^{2}df$$

를 equivalent noise bandwidth라고 한다. 1차 저역 통과 필터

$$|H(f){|}^2=\frac{1}{1+(f/f_c{)}^2}$$

의 one-sided ENBW는

$$B_{\mathrm{ENBW}}=\frac{\pi }{2}{f}_c$$

이다. 따라서 noise 계산에서 단순히 3 dB bandwidth $f_c$를 곱하면 실제보다 작게 계산된다.

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7. 결과를 읽는 방법

PSD 또는 적분 결과	의미
PSD가 평탄함	대역 내 white noise 성분이 지배적
저주파에서 증가	flicker noise, drift 등 저주파 성분 가능
특정 주파수의 뾰족한 peak	tone, spur 또는 간섭 가능
적분 대역을 넓힐수록 RMS 증가	더 많은 noise power를 포함함
PSD는 같은데 FFT 길이에 따라 bin power가 변함	정상적인 현상. bin 폭 $\Delta f$가 달라졌기 때문

8. $f$와 $\omega$ 표현의 차이

$f$의 단위가 Hz이고 $\omega =2\pi f$의 단위가 rad/s이면

$$S_x^{(\omega )}(\omega )d\omega =S_x^{(f)}(f)df$$

이므로

$$S_x^{(\omega )}(\omega )=\frac{1}{2\pi }{S}_x^{(f)}(f)$$

이다. $/Hz$와 $/(rad/s)$를 바꿀 때 $2\pi$ 계수를 빠뜨리지 않아야 한다.

9. 흔한 오해와 주의점

흔한 오해	발생하는 오차	올바른 방법
ASD를 직접 더함	total noise 과대 또는 과소 계산	ASD를 제곱해 PSD로 더한 뒤 제곱근 계산
one-sided와 two-sided 혼용	2배 또는 3.01 dB 오차	정의와 적분 범위 확인
3 dB bandwidth를 ENBW로 사용	실제 filter noise 과소 계산	$
$/Hz$와 $/(rad/s)$를 동일시	$2\pi$ 배 오차	spectral density와 미분 요소를 함께 변환
한 periodogram을 정확한 PSD로 간주	추정값의 큰 통계적 흔들림	여러 record 또는 Welch average 사용

10. 다음 개념과의 연결

PSD 적분으로 noise 크기를 계산하는 원리는 전류·전압·위상 noise에 동일하게 적용된다. 다음 문서에서는 전달 함수를 통해 서로 다른 물리량의 PSD가 어떻게 변환되는지 설명한다.

다음 문서: Current noise, voltage noise, phase noise