Delta-Sigma Modulator noise

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핵심 결론

• DSM은 quantization noise를 제거하지 않고 NTF를 이용해 신호 대역 밖으로 이동시킨다.
• $L$차 low-pass NTF는 DC에 $L$개의 zero를 두며, 저주파 noise PSD는 대략 $f^{2L}$에 비례한다.
• OSR과 차수를 높이면 in-band noise는 줄지만 안정성·내부 swing·idle tone·DAC mismatch 문제가 커진다.

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1. 왜 noise shaping이 필요한가

일반 양자화기의 oversampling은 같은 total quantization noise를 더 넓은 Nyquist 대역에 분산시켜, OSR 2배당 in-band noise power를 약 3 dB 줄인다. 더 큰 개선을 얻으려면 signal band 안의 noise를 선택적으로 억제하고 대역 밖으로 보내야 한다. DSM의 feedback과 NTF가 이 역할을 한다.

$$\boxed{\text{quantization noise 제거}\text{가 아니라}\text{signal band 밖으로 재분배}}$$

2. 핵심 모델: STF와 NTF

양자화기를 additive error model로 근사하면

$$Q(u)=u+e$$

이고 DSM 출력은 일반적으로

$$\boxed{Y(z)=STF(z)X(z)+NTF(z)E(z)}$$

로 표현할 수 있다.

• STF: 입력 신호가 출력으로 전달되는 특성
• NTF: 양자화 오차가 출력으로 전달되는 특성

저역 통과 DSM은 신호에는 대략 unity gain을 제공하면서, NTF가 DC에서 0이 되도록 만들어 저주파 quantization noise를 억제한다.

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3. 1차 DSM의 STF와 NTF

대표적인 1차 DSM의 선형 모델에서는

$$Y(z)=z^{-1}X(z)+(1-z^{-1})E(z)$$

와 같은 형태를 얻는다. 정확한 delay 위치는 구조에 따라 달라질 수 있지만 핵심은

$$STF(z)\approx z^{-1}$$ $$NTF(z)=1-z^{-1}$$

이라는 점이다.

unit circle에서 $z=e^{j\Omega }$라 하면

$$|NTF(e^{j\Omega })|=|1-e^{-j\Omega }|=2\left|\sin \frac{\Omega }{2}\right|$$

이고, 저주파 $\Omega \ll 1$에서

$$|NTF|\approx \Omega =\frac{2\pi f}{f_s}$$

이다. 따라서 1차 DSM의 quantization-noise PSD는 저주파에서 $f^2$에 비례하여 감소한다.

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4. 고차 DSM의 noise shaping

$L$차 low-pass DSM의 이상적인 NTF는 대략

$$NTF(z)\approx (1-z^{-1}{)}^L$$

이다. 즉, $z=1$ 또는 DC에 $L$개의 zero를 배치한다.

저주파에서

$$|NTF(e^{j2\pi f/f_s})|\approx {\left(\frac{2\pi f}{f_s}\right)}^L$$

이므로 shaped quantization-noise PSD는

$$S_{q,\mathrm{out}}(f)=|NTF(e^{j2\pi f/f_s}){|}^2{S}_e(f)$$ $$S_{q,\mathrm{out}}(f)\propto f^{2L}$$

이 된다. 스펙트럼 기울기를 power dB로 보면 대략 차수당 $20dB/dec$, 즉 $6dB/oct$씩 증가한다.

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5. 계산 순서: In-band noise

1. Quantizer를 additive error $E(z)$로 선형화한다.
2. Loop 구조에서 STF와 NTF를 구한다.
3. Quantization-error PSD에 $|NTF{|}^2$을 곱한다.
4. Signal bandwidth에서 출력 noise PSD를 적분한다.
5. 실제 transient RMS 및 FFT 결과와 비교해 white-error 가정과 안정성을 확인한다.

양자화 오차를 white noise로 근사하고 two-sided PSD를

$$S_e^{(2)}(f)=\frac{{\Delta }^2}{12f_s}$$

로 두면, 신호 대역 $-B\le f\le B$의 quantization-noise power는

$${\sigma }_{q,\mathrm{IB}}^2={\int }_{-B}^B|NTF(e^{j2\pi f/f_s}){|}^2\frac{{\Delta }^2}{12f_s}df$$

이다.

$|NTF|\approx (2\pi f/f_s{)}^L$ 근사를 적용하고

$$OSR=\frac{f_s}{2B}$$

로 정의하면

$$\boxed{{\sigma }_{q,\mathrm{IB}}^2\approx \frac{{\Delta }^2}{12}\frac{{\pi }^{2L}}{2L+1}OS{R}^{-(2L+1)}}$$

를 얻는다. 이 식은 이상적인 $L$차 NTF, 충분히 큰 OSR, white quantization-error model을 가정한다.

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6. 결과를 읽는 방법: OSR과 차수

OSR을 2배로 할 때 in-band quantization-noise power 개선량은 근사적으로

$$10{\log }_{10}\left(2^{2L+1}\right)=3.01(2L+1)\mathrm{dB}$$

이다.

Noise shaping order $L$	OSR 2배당 in-band noise 감소
0 (oversampling only)	약 3 dB
1	약 9 dB
2	약 15 dB
3	약 21 dB

즉, 높은 차수에서는 샘플링 속도를 올렸을 때 얻는 이득이 훨씬 크다.

Spectrum의 모습	우선 확인할 항목
DC 근처 noise floor가 예상보다 높음	NTF zero 위치, integrator leakage, thermal noise
고주파 noise가 크게 증가	정상적인 shaping 가능. NTF peak와 후단 filter 요구량 확인
좁고 높은 line이 나타남	idle tone, limit cycle, clock 또는 input spur 확인
이론식보다 in-band RMS가 큼	overload, 비이상성, window·ENBW, 추가 noise source 확인

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7. 고차 DSM의 장점과 한계

차수를 높이면 DC 근처의 noise suppression은 강해지지만 다음 문제가 커진다.

• 안정성: 양자화기가 비선형이므로 선형 NTF만으로 global stability를 보장할 수 없다.
• Out-of-band gain: 대역 밖으로 밀린 큰 quantization noise가 내부 node swing과 후단 필터 요구량을 증가시킨다.
• Overload: 입력이 커지면 integrator state가 포화되고 noise shaping이 무너질 수 있다.
• Idle tone / limit cycle: 특히 DC 또는 주기적 입력에서 양자화 오차가 white하지 않고 tone이 될 수 있다.
• Coefficient sensitivity: 실제 적분기 gain, leakage, finite op-amp gain, clock jitter 등의 비이상성이 NTF를 바꾼다.

그래서 고차 DSM은 단순히 integrator를 계속 추가하기보다 안정성이 검증된 loop filter, 제한된 NTF peak gain, multi-stage noise shaping(MASH), multi-bit quantizer 등을 사용한다.

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8. Multi-bit quantizer와 DAC noise

quantizer bit 수를 늘리면 $\Delta$가 작아져 quantization-noise power ${\Delta }^2/12$가 감소하고 loop 안정성에도 유리할 수 있다. 그러나 feedback DAC element mismatch가 새로운 오차를 만든다.

• single-bit DAC: 본질적으로 선형이지만 quantization noise가 큼
• multi-bit DAC: quantization noise가 작고 loop 동작이 부드럽지만 element mismatch가 distortion을 유발
• DEM(dynamic element matching): DAC mismatch error를 랜덤화하거나 noise-shape하여 signal band 밖으로 이동

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9. 실제 PSD를 해석하는 순서

1. $f_s$, signal bandwidth, OSR 정의가 일치하는가?
2. PSD가 one-sided인가 two-sided인가?
3. FFT window와 ENBW가 보정되었는가?
4. NTF의 실제 zero와 peak gain이 설계값과 일치하는가?
5. 적분한 in-band PSD가 transient simulation의 RMS error와 일치하는가?
6. broadband floor가 아니라 idle tone 또는 spur가 지배적이지 않은가?
7. quantization noise 외에 thermal noise, clock jitter, DAC mismatch도 포함했는가?

10. 흔한 오해와 주의점

흔한 오해	올바른 해석
DSM이 total quantization noise를 없앰	Noise를 대역 밖으로 재분배하며 out-of-band noise는 증가할 수 있다.
차수는 높을수록 항상 좋음	안정성, NTF peak, 내부 state swing을 함께 검증해야 한다.
선형 NTF가 실제 동작을 완전히 예측	Quantizer 비선형성 때문에 transient 및 state 검증이 필요하다.
PSD의 모든 peak를 broadband noise로 적분	Idle tone과 spur는 별도로 식별해야 한다.
Multi-bit이면 모든 성능이 향상	Feedback DAC mismatch와 DEM 설계가 중요해진다.

11. 다음 개념과의 연결

DSM의 NTF와 shaped quantization noise는 Fractional-N PLL에서 divider 제어 오차와 phase noise로 변환된다. 이때도 source PSD에 PLL noise transfer function의 magnitude squared를 곱하는 동일한 원리를 사용한다.

관련 링크: Fractional-N PLL과 DSM, PLL 내 DSM 요약

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