Current noise, voltage noise, phase noise

상위 문서: Noise

핵심 결론

• 전류·전압·위상 noise는 단위만 다를 뿐 동일한 PSD 전달 규칙을 따른다.
• 출력 PSD는 입력 PSD에 전달 함수 magnitude의 제곱을 곱해 구한다.
• 여러 비상관 noise source는 출력 기준 PSD로 환산한 뒤 더한다.
• Phase noise나 jitter는 반드시 offset 적분 대역과 one-sided/two-sided 정의를 함께 명시한다.

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1. 왜 하나의 PSD 규칙으로 다루는가

회로의 noise source는 전류, 전압, 주파수, 위상처럼 서로 다른 물리량으로 주어진다. 단위가 다르더라도 선형 회로에서는 전달 함수가 입력 변동을 출력 변동으로 변환하므로, 모든 source를 출력 기준 PSD로 환산하면 동일한 방식으로 합산하고 적분할 수 있다.

$$\boxed{\text{source PSD}\stackrel{\times |H(f){|}^2}{\to }\text{output PSD}\stackrel{\int df}{\to }\text{output variance}\stackrel{\sqrt{}}{\to }\text{output RMS noise}}$$

2. 핵심 단위: Current, voltage, phase noise

2.1 PSD와 amplitude density

노이즈	PSD	ASD
전류	$S_i(f)$ [${\mathrm{A}}^2/Hz$]	$i_n(f)=\sqrt{S_i(f)}$ [$A/\sqrt{\mathrm{Hz}}$]
전압	$S_v(f)$ [${\mathrm{V}}^2/Hz$]	$e_n(f)=\sqrt{S_v(f)}$ [$V/\sqrt{\mathrm{Hz}}$]
위상	$S_{\varphi }(f)$ [$\mathrm{ra}{\mathrm{d}}^2/Hz$]	$\sqrt{S_{\varphi }(f)}$ [$rad/\sqrt{\mathrm{Hz}}$]

저항 $R$의 열잡음은 대표적으로 다음과 같이 표현한다. 아래는 one-sided PSD 기준이다.

$$S_v(f)=4kTR[{\mathrm{V}}^2/Hz]$$ $$S_i(f)=\frac{4kT}{R}[{\mathrm{A}}^2/Hz]$$

두 식은 Norton/Thevenin 등가 관계 $S_v=R^2{S}_i$를 만족한다.

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3. 계산 순서와 전달 함수

1. 각 noise source의 PSD와 one-sided/two-sided 정의를 확인한다.
2. source에서 관심 출력까지의 전달 함수 $H_k(f)$를 구한다.
3. $|H_k(f){|}^2{S}_{x_k}(f)$로 각 출력 기여 PSD를 계산한다.
4. 비상관 source의 PSD를 더한다.
5. 관심 대역에서 적분한 뒤 제곱근을 취한다.

3.1 기본 전달 규칙

선형 시불변 시스템에서

$$Y(f)=H(f)X(f)$$

이면 PSD는

$$\boxed{S_y(f)=|H(f){|}^2{S}_x(f)}$$

가 된다. amplitude density로는

$$\sqrt{S_y(f)}=|H(f)|\sqrt{S_x(f)}$$

이다.

3.2 전류 노이즈 → 전압 노이즈

임피던스 $Z(f)$를 통과하면

$$V_n(f)=Z(f)I_n(f)$$ $$S_v(f)=|Z(f){|}^2{S}_i(f)$$

이다.

3.3 전압 노이즈 → 위상 노이즈

VCO의 tuning gain을 $K_{VCO}$ [$rad/s/V$]라 하면 control-voltage noise는 우선 frequency noise로 변환되고, 위상은 주파수의 적분이므로

$${\Phi }_n(s)=\frac{K_{VCO}}{s}{V}_n(s)$$

이다. 따라서 free-running VCO에서는

$$S_{\varphi }(f)={\left|\frac{K_{VCO}}{j2\pi f}\right|}^2{S}_v(f)$$

이다. PLL 내부에서는 여기에 해당 노드에서 출력 위상까지의 closed-loop noise transfer function을 추가로 곱해야 한다.

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4. 여러 노이즈원의 합

입력 노이즈원 $x_k$가 서로 비상관이고 각각 전달 함수 $H_k(f)$를 통해 출력에 나타나면

$$S_{y,\mathrm{total}}(f)=\sum _k|H_k(f){|}^2{S}_{x_k}(f)$$

이다. 서로 상관된 노이즈원이라면 cross PSD가 추가된다.

$$S_y=|H_1{|}^2{S}_{11}+|H_2{|}^2{S}_{22}+2\mathrm{Re}\{H_1{H}_2^{\ast }{S}_{12}\}$$

따라서 같은 물리적 소자에서 유래한 correlated noise를 무조건 RSS(root-sum-square)로 더하면 틀릴 수 있다.

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5. 위상 노이즈 PSD

실제 발진기 출력을 작은 진폭 및 위상 변동으로 쓰면

$$v(t)=A[1+a_n(t)]\cos (2\pi f_{0}t+{\varphi }_n(t))$$

이다. ${\varphi }_n(t)$는 무차원 각도이지만 관례적으로 rad 단위를 표시하며, PSD는 $\mathrm{ra}{\mathrm{d}}^2/Hz$이다.

위상 변동이 충분히 작으면

$$\cos (2\pi f_{0}t+{\varphi }_n)\approx \cos (2\pi f_{0}t)-{\varphi }_n(t)\sin (2\pi f_{0}t)$$

이므로 baseband phase fluctuation이 carrier 양쪽의 sideband noise로 변환된다.

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6. $L(f)$와 dBc/Hz

$L(f)$는 carrier에서 offset $f$만큼 떨어진 한쪽 sideband의 1 Hz 대역 noise power를 carrier power로 나눈 값이다.

$$L(f)=\frac{\text{SSB noise power in 1 Hz at offset }f}{\text{carrier power}}$$

단위 없는 power ratio이며, 보통 로그로 표시한다.

$$L_{dBc/Hz}(f)=10{\log }_{10}L(f)$$

작은 위상 변동, 양쪽 sideband 대칭, one-sided $S_{\varphi }(f)$ 정의를 사용하면

$$\boxed{L(f)=\frac{1}{2}{S}_{\varphi }(f)}$$

이고

$$L_{dBc/Hz}(f)=10{\log }_{10}\left(\frac{S_{\varphi }(f)}{2}\right)$$

이다.

일부 문헌은 $S_{\varphi }$를 two-sided로 정의하거나 $L(f)$를 다른 방식으로 환산한다. 수치 비교 전에는 반드시 one-sided/two-sided 정의와 linear/dB 단위를 확인한다.

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7. Integrated phase noise와 RMS jitter

offset 대역 $[f_1,f_2]$에서 one-sided phase PSD를 적분하면

$${\varphi }_{n,\mathrm{RMS}}=\sqrt{{\int }_{f_1}^{f_2}{S}_{\varphi }(f)df}$$

이다. $L(f)$가 linear ratio라면 $S_{\varphi }=2L$이므로

$${\varphi }_{n,\mathrm{RMS}}=\sqrt{2{\int }_{f_1}^{f_2}L(f)df}$$

이다. carrier 주파수가 $f_0$일 때 작은 위상 오차와 시간 오차의 관계는

$$\varphi (t)=2\pi f_0\Delta t(t)$$

이므로 RMS jitter는

$$\boxed{t_{j,\mathrm{RMS}}=\frac{{\varphi }_{n,\mathrm{RMS}}}{2\pi f_0}}$$

이다. 적분 offset 범위를 함께 명시하지 않은 integrated phase noise 또는 jitter 값은 완전한 스펙이 아니다.

8. 결과를 읽는 방법

결과	의미
$S_y=	H
$S_v=	Z
$S_{\varphi }\propto S_v/f^2$	free-running VCO에서 control-voltage noise의 저주파 성분이 위상에 강하게 누적됨
$L(f)=S_{\varphi }(f)/2$	작은 위상 변동과 지정된 one-sided 정의에서의 관계
적분 대역 증가 시 jitter 증가	더 많은 phase-noise power를 포함함

9. 흔한 오해와 주의점

흔한 오해	올바른 해석
전달 함수 $H$를 PSD에 그대로 곱함	PSD에는 $
서로 다른 단위의 ASD를 직접 더함	같은 출력 물리량의 PSD로 환산한 뒤 더한다.
모든 source를 RSS로 합산	correlated source에는 cross PSD가 필요하다.
$L(f)$와 $S_{\varphi }(f)$를 같은 값으로 사용	sidedness와 $1/2$ 관계를 확인한다.
적분 범위 없는 jitter를 비교	carrier 주파수와 offset 적분 범위를 함께 명시한다.

10. 다음 개념과의 연결

열잡음과 회로 noise는 물리적 source이지만, 디지털 변환 과정에서도 양자화 오차가 noise처럼 나타난다. 다음 문서에서는 양자화 오차의 분산과 PSD가 어떤 가정에서 성립하는지 설명한다.

관련 링크: Oscillator Noise, PLL noise transfer functions

다음 문서: Quantization noise