Noise

핵심 결론

• 노이즈는 평균을 제거한 변동의 분산으로 크기를 나타낸다.
• 직교성과 FFT를 이용하면 전체 분산을 주파수별 power로 분해할 수 있다.
• PSD를 관심 대역에서 적분하고 제곱근을 취하면 RMS noise가 된다.
• 회로 noise와 quantization noise는 source가 달라도 PSD 전달 → 합산 → 대역 적분이라는 같은 흐름으로 계산한다.

문서 지도

순서	핵심 질문	상세 문서
1	노이즈 크기를 어떻게 한 숫자로 표현하는가?	분산: 이산 데이터, 연속 파형, RMS
2	성분별 noise power를 언제 더할 수 있는가?	함수의 직교성, 분산의 합, Parseval 정리
3	매번 달라지는 파형을 어떻게 함수와 spectrum으로 다루는가?	랜덤 프로세스, 유한 관측 파형, FFT
4	PSD에서 대역 제한 RMS noise를 어떻게 계산하는가?	노이즈 분산과 PSD
5	전류·전압·위상 noise를 출력으로 어떻게 환산하는가?	전류·전압·위상 노이즈
6	양자화 오차를 언제 white noise로 볼 수 있는가?	Quantization noise
7	DSM은 in-band quantization noise를 어떻게 줄이는가?	Delta-Sigma Modulator noise

전체 분석 흐름

$$\boxed{\text{noise source}\stackrel{|H(f){|}^2}{\to }\text{output PSD}\stackrel{\text{source별 합산}}{\to }{S}_{\mathrm{total}}(f)\stackrel{{\int }_{f_L}^{f_H}df}{\to }{\sigma }^2\stackrel{\sqrt{}}{\to }{x}_{n,\mathrm{RMS}}}$$

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1. 분산

📝 상세 정리 노트: 분산: 이산 데이터, 연속 파형, RMS

핵심: 분산은 평균을 제거한 변동의 평균 제곱이고, 평균이 0이면 RMS²과 같다.

• 이산 데이터: $${\sigma }_x^2=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}(x[n]-{\mu }_x{)}^2,{\mu }_x=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]$$
• 구간 $[t_0,t_0+T]$의 연속 파형: $${\sigma }_x^2=\frac{1}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}(x(t)-{\mu }_x{)}^{2}dt$$
• 평균이 0이면: $${\sigma }_x^2=E[x^2]=x_{\mathrm{RMS}}^2,x_{\mathrm{RMS}}={\sigma }_x$$

즉, DC 성분을 제거한 파형의 RMS는 표준편차와 같다.

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2. 함수의 직교성과 분산의 합

📝 상세 정리 노트: 함수의 직교성, 분산의 합, Parseval 정리

핵심: 직교하거나 비상관인 성분은 교차항이 사라지므로 분산과 PSD를 서로 더할 수 있다.

두 함수의 내적을

$$⟨x,y⟩=\frac{1}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}x(t)y^{\ast }(t)dt$$

로 정의할 때, $⟨x,y⟩=0$이면 두 함수는 직교한다. 평균이 0인 직교 성분들의 합 $x(t)={\sum }_k{x}_k(t)$에 대해서는 교차항이 사라지므로

$${\sigma }_x^2=\sum _k{\sigma }_{x_k}^2$$

가 된다. Parseval 정리는 같은 사실을 시간 영역과 주파수 영역 사이에서 표현한다.

$$\text{시간 영역의 평균 제곱}=\text{주파수 성분별 평균 제곱의 합}$$

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3. 노이즈를 함수처럼 보는 방법

📝 상세 정리 노트: 랜덤 프로세스, 유한 관측 파형, FFT와 power spectrum

핵심: 노이즈는 가능한 파형들의 랜덤 프로세스이며, 실제 측정에서는 유한 시간 realization 하나를 FFT로 분석한다.

1. 시간 파형을 $N$개 샘플로 관측한다.
2. 평균을 제거하고 필요하면 window를 적용한다.
3. FFT로 직교 주파수 성분으로 분해한다.
4. FFT의 복소 계수 자체가 아니라 $|X[k]{|}^2$를 적절히 정규화하여 power spectrum 또는 PSD를 얻는다.

FFT는 진폭과 위상 정보가 있는 복소 계수이고, power spectrum은 그 크기의 제곱이다. PSD는 여기에 주파수 bin 폭까지 반영하여 Hz당 파워로 나타낸 값이다.

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4. 노이즈 분산과 PSD

📝 상세 정리 노트: PSD의 정의, 단위, 적분, bandwidth-limited RMS noise

핵심: PSD는 Hz당 noise power이며, 대역 적분값은 분산이고 그 제곱근은 RMS noise다.

$${\sigma }_x^2={\int }_{-\infty }^{\infty }{S}_x^{(2)}(f)df={\int }_0^{\infty }{S}_x^{(1)}(f)df$$

• 전압 노이즈 PSD: ${\mathrm{V}}^2/Hz$
• 전류 노이즈 PSD: ${\mathrm{A}}^2/Hz$
• 위상 노이즈 PSD: $\mathrm{ra}{\mathrm{d}}^2/Hz$

대역 $[f_L,f_H]$에서의 RMS noise는

$$x_{n,\mathrm{RMS}}=\sqrt{{\int }_{f_L}^{f_H}{S}_x(f)df}$$

이다. 평탄한 white-noise PSD $S_0$라면 $x_{n,\mathrm{RMS}}=\sqrt{S_{0}B}$이다.

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5. Current noise, voltage noise, phase noise

📝 상세 정리 노트: 전류·전압·위상 노이즈와 전달 함수

핵심: 모든 noise source를 같은 출력 물리량의 PSD로 환산한 뒤 합산하고 적분한다.

$$S_y(f)=|H(f){|}^2{S}_x(f)$$

예를 들어 임피던스 $Z(f)$를 통과한 전류 노이즈는

$$S_v(f)=|Z(f){|}^2{S}_i(f)$$

가 된다. 작은 위상 변동에서 SSB phase noise $L(f)$와 one-sided phase PSD의 관계는 일반적으로

$$L(f)=\frac{1}{2}{S}_{\varphi }(f),L_{dBc/Hz}(f)=10{\log }_{10}L(f)$$

로 쓴다. 단, 문헌과 계측기의 one-sided/two-sided 정의를 반드시 확인해야 한다.

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6. Quantization noise

📝 상세 정리 노트: 양자화 오차, Δ²/12, white-noise 근사, PSD

핵심: ${\Delta }^2/12$와 평탄한 PSD는 quantization error가 균일하고 비상관이라는 조건에서 성립한다.

$${\sigma }_e^2=\frac{{\Delta }^2}{12}$$

오차가 입력과 비상관이고 샘플 간에도 비상관이라는 white-noise 근사 아래, Nyquist 대역에서 two-sided PSD는

$$S_e^{(2)}(f)=\frac{{\Delta }^2}{12f_s},-\frac{f_s}{2}<f<\frac{f_s}{2}$$

이다. 작은 입력, 주기적 입력, DC 입력, 과부하에서는 이 근사가 깨지고 tone이나 spur가 나타날 수 있다.

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7. Delta-Sigma Modulator noise

📝 상세 정리 노트: Delta-Sigma Modulator의 STF, NTF, OSR, in-band noise

핵심: DSM은 NTF를 이용해 quantization noise를 제거하는 것이 아니라 신호 대역 밖으로 이동시킨다.

$$Y(z)=STF(z)X(z)+NTF(z)E(z)$$

$L$차 저역 통과 DSM의 이상적인 NTF는 대략

$$NTF(z)\approx (1-z^{-1}{)}^L$$

이므로 DC에 $L$개의 영점을 갖는다. 저주파에서 $|NTF|\propto f^L$이고, 충분히 큰 OSR에서 in-band quantization-noise power는 근사적으로

$${\sigma }_{e,\mathrm{IB}}^2\approx \frac{{\Delta }^2}{12}\frac{{\pi }^{2L}}{2L+1}OS{R}^{-(2L+1)}$$

이다. 차수를 높이면 noise shaping은 강해지지만 안정성, 내부 상태 크기, idle tone, out-of-band gain 문제가 더 중요해진다.

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핵심 연결 관계

$$\boxed{\text{분산}\stackrel{\text{Parseval}}{\leftrightarrow }\text{주파수 성분별 power의 합}\stackrel{\Delta f\to 0}{\leftrightarrow }\int \mathrm{PSD}df}$$

즉, 노이즈 해석의 핵심은 평균을 제거한 파형의 평균 제곱을 직교 주파수 성분으로 나누어 보고, 이를 Hz당 밀도로 정규화한 뒤 필요한 대역에서 다시 적분하는 것이다.

관련 링크: PLL, Oscillator Noise, Fractional-N PLL